Sådan oprettes en apollonian pakning

En Apollonian pakning er en type af fraktal billede, der er dannet af en samling af stadigt krympende cirkler indeholdt i en enkelt stor cirkel. Hver cirkel i Apollonian pakningen er tangent Til de tilstødende cirkler - med andre ord kontakter cirklerne i Apollonian-pakningen på uendeligt små punkter. Med navnet til den græske matematiker Apollonius af Perga, kan denne type fraktal trækkes (for hånd eller ved computer) til rimelig grad af kompleksitet, der danner et smukt, slående billede. Se trin 1 nedenfor for at komme i gang.

Trin

Del 1 af 2:
Forstå nøglekoncepter

At være helt klar, hvis du simpelthen er interesseret i tegning En Apollonian Pakning, det er ikke vigtigt at undersøge matematikprincipperne bag fraktal. Men hvis du vil have en dybere forståelse af Apollonian-pakninger, er det vigtigt at forstå definitionerne af flere koncepter, vi bruger, når vi diskuterer dem.

  1. Billedet med titlen Opret en Apollonian Pakning Trin 1
1. Definer nøgle vilkår. Følgende udtryk anvendes i instruktionerne nedenfor:
  • Apollonian Pakning: Et af flere navne til en type fraktal sammensat af en række cirkler nestet inde i en stor cirkel og tangent til alle andre i nærheden. Disse kaldes også "Soddy cirkler" eller "Kissing Circles".
  • Radius af en cirkel: afstanden fra midten af ​​en cirkel til dens kant. Normalt tildelt variablen R.
  • Krumning af en cirkel: den positive eller negative inverse af radiusen, eller ± 1 / r. Krumning er positiv, når du beskæftiger sig med den ydre krumning af cirklen og negativ for den indre krumning.
  • Tangent: Et udtryk anvendt på linjer, fly og former, der skærer på et uendeligt lille punkt. I Apollonian-pakninger henviser dette til, at hver cirkel rører ved hver enkelt cirkel på kun ét punkt. Bemærk, at der ikke er nogen kryds - Tangentformer overlapper ikke.
  • Billedet med titlen Opret en Apollonian Pakning Trin 2
    2. Forstå Descartes soorem.Descartes`s sætning er en formel, der er nyttig til beregning af størrelsen af ​​cirklerne i en Apollonian pakning. Hvis vi definerer krumningerne (1 / r) på tre cirkler som -en, B, og C, I henholdsvis siger sætningen, at cirkelkurven (eller cirkler) tangent til alle tre, som vi vil definere som D, er: D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))).
  • Til vores formål vil vi generelt kun bruge svaret, vi får ved at sætte et plustegn foran kvadratroden (med andre ord, ... + 2 (sqrt (...)). For nu er det nok at vide, at subtraktionsformularen af ​​ligningen har sine anvendelser i andre relaterede opgaver.
    • Del 2 af 2:
    Konstruktion af Apollonian Pakning

    Apollonian pakninger tager form af smukke fraktal arrangementer af krympende cirkler. Matematisk har Apolloniske pakninger uendelig kompleksitet, men om du bruger et computer tegningsprogram eller traditionelle tegning værktøjer, vil du i sidste ende nå et punkt, hvor det er umuligt at tegne cirkler nogen mindre. Bemærk, at jo mere præcist du tegner dine cirkler, jo mere vil du kunne passe i din pakning.

    1. Billedet med titlen Opret en Apollonian Pakning Trin 3
    1. Saml dine digitale eller analoge tegning værktøjer. I trinene nedenfor laver vi vores egen enkle Apollonian-pakning. Det er muligt at tegne Apollonian pakninger med hånden eller på computeren. I begge tilfælde vil du være i stand til at tegne perfekt runde cirkler. Dette er ret vigtigt. Da hver cirkel i en Apollonian-pakning er perfekt tangent til cirklerne ved siden af ​​det, kan cirkler, der er endnu lidt mishapen "kast off" dit endelige produkt.
    • Hvis du tegner pakningen på en computer, skal du bruge et program, der giver dig mulighed for nemt at tegne cirkler af en fast radius fra et centralt punkt. GFIG, en vektor tegning forlængelse til det gratis billedredigeringsprogram GIMP, kan bruges, ligesom en bred vifte af andre tegneprogrammer (se Materials sektionen for relevante links). Du vil også sandsynligvis have brug for en regnemaskine applikation og enten et ordprocessordokument eller en fysisk notesblok til at tage noter om kurvaturer og radii.
    • For at tegne pakningen med hånden skal du have en regnemaskine (videnskabelig eller grafende foreslået), en blyant, kompas, linjal (helst en skala med millimeter markeringer, grafpapir og en notesblok til note tager.
  • Billedet med titlen Opret en Apollonian Pakning Trin 4
    2. Start med en stor cirkel. Din første opgave er let - bare tegne en stor, perfekt rund cirkel. Jo større cirklen er, jo mere kompleks din pakning kan være, så prøv at lave en cirkel så stor som dit papir tillader eller så stort som du nemt kan se i et vindue på dit tegneprogram.
  • Billedet med titlen Opret en Apollonian Pakning Trin 5
    3. Opret en mindre cirkel inde i originalen, tangent til den ene side. Derefter tegne en anden cirkel inde i den første, der er mindre end originalen, men stadig ret stor. Den nøjagtige størrelse af den anden cirkel er op til dig - der er ingen korrekt størrelse. Men for vores formål, lad os tegne vores anden cirkel, så den når præcis halvvejs på tværs af vores store ydre cirkel. Med andre ord, lad os tegne vores anden cirkel, så dets centrale punkt er midtpunktet for den store cirkels radius.
  • Husk at i Apollonian pakninger, alle cirkler, der rører, er tangent til hinanden. Hvis du bruger et kompas til at tegne dine cirkler for hånden, skal du genskabe denne effekt ved at sætte det skarpe punkt på kompassen ved midtpunktet af den store ydre cirkels radius, justere din blyant, så den lige rører kanten af ​​den store cirkel, og derefter tegne din mindre indre cirkel.
  • Billedet med titlen Opret en Apollonian Pakning Trin 6
    4. Tegn en identisk cirkel "Over for" den mindre indvendige cirkel. Næste, lad os tegne en anden cirkel på tværs af vores første. Denne cirkel skal være tangent til både den store ydre cirkel og den mindre indre cirkel, hvilket betyder, at dine to indre cirkler vil røre ved den nøjagtige midtpunkt af den store ydre cirkel.
  • Billedet med titlen Opret en Apollonian Pakning Trin 7
    5. Påfør Descartes`s sætning for at finde størrelsen af ​​dine næste cirkler. Lad os stoppe med at tegne et øjeblik. Nu hvor vi har tre cirkler i vores pakning, kan vi bruge Descartes`s sætning til at finde radius af den næste cirkel, vi tegner. Husk, at Descartes`s sætning er D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))), hvor A, B og C er krumningerne i dine tre tangentcirkler, og D er krumningen af ​​cirkel tangent til alle tre. Så for at finde radius af vores næste cirkel, lad os finde krumningen af ​​hver af de cirkler, vi har hidtil, så vi kan finde krumningen af ​​den næste cirkel, og derefter konvertere dette til sin radius.
  • Lad os definere radius af vores ydre cirkel som 1. Fordi de andre cirkler er inde i denne, beskæftiger vi sig med dets interiør krumning (snarere end den ydre krumning), og følgelig ved vi, at krumning er negativ. - 1 / r = -1/1 = -1. Den store cirkels krumning er -1.
  • De mindre cirkler radii er halvdelen så store som den store cirkel, eller med andre ord 1/2. Da disse cirkler rører hinanden og den store cirkel med deres udvendige kant, beskæftiger vi os med deres ydre krumning, så deres kurvaturer er positive. 1 / (1/2) = 2. De mindre cirkelkurvaturer er begge 2.
  • Nu ved vi, at A = -1, B = 2 og C = 2 til vores Descartes soorem ligning. Lad os løse for D:
  • D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)))
  • D = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
  • D = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-2 + 4 + -2))
  • D = -1 + 2 + 2 ± 0
  • D = -1 + 2 + 2
  • D = 3. Krumning af vores næste cirkel er 3. Siden 3 = 1 / r er radiusen af ​​vores næste cirkel 1/3.
  • Billedet med titlen Opret en Apollonian Pakning Trin 8
    6. Opret dit næste sæt cirkler. Brug den radiusværdi, du lige har fundet at tegne dine næste to cirkler. Husk at disse vil være tangent til de cirkler, hvis krumninger du brugte til A, B og C i Descartes`s Teorem. Med andre ord vil de være tangent til både de oprindelige og anden cirkler. For disse cirkler at være tangent til alle tre cirkler, skal du trække dem i de åbne rum i toppen og bunden af ​​området inde i din store originale cirkel.
  • Husk at disse cirkler `radii vil være lig med 1/3. Måle 1/3 tilbage fra kanten af ​​den ydre cirkel, og træk derefter din nye cirkel. Det burde være tangent til alle tre af de omkringliggende cirkler.
  • Billede med titlen Opret en Apollonian Pakning Trin 9
    7. Fortsæt på denne måde for at fortsætte med at tilføje cirkler. Fordi de er fraktaler, er Apollonian Pakets uendeligt komplekse. Det betyder, at du kan tilføje mindre og mindre cirkler til dit hjertes indhold. Du er begrænset kun være præcisionen af ​​dine værktøjer (eller hvis du bruger en computer, dit tegneprograms evne til at "Zoom ind"). Hver cirkel, uanset hvor lille, skal være tangent til tre andre cirkler. For at tegne hver efterfølgende cirkel i din pakning, skal du sætte krumningerne i de tre cirkler, det vil være tangent til Descartes`s sætning. Brug derefter dit svar (som vil være radius af din nye cirkel) for at tegne din nye cirkel præcist.
  • Bemærk, at pakningen vi har valgt at tegne, er symmetrisk, så radius af en cirkel er den samme som den tilsvarende cirkel "på tværs af fra det". Men ved, at ikke alle Apollonian pakning er symmetrisk.
  • Lad os tackle endnu et eksempel. Lad os sige, at vi efter at tegne vores sidste sæt cirkler nu vil tegne de cirkler, der er tangent til vores tredje sæt, vores andet sæt og vores store ydre cirkel. Kurvaturerne af disse cirkler er henholdsvis 3, 2 og -1. Lad os tilslutte disse numre i Descartes`s sætning, indstilling af A = -1, B = 2 og C = 3:
  • D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-2 + 6 + -3))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (1))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2
  • D = 2, 6. Vi har to svar! Men fordi vi ved, at vores nye cirkel vil være mindre end nogen af ​​de cirkler, er det tangent til, kun en krumning af 6 (og derfor en radius af 1/6) giver mening.
  • Vores andet svar, 2, refererer faktisk til den hypotetiske cirkel på anden side af tangentpunktet i vores anden og tredje cirkler. Denne cirkel er tangent til begge disse cirkler og til den store ydre cirkel, men det ville krydse de cirkler, vi allerede har trukket, så vi kan se bort fra det.
  • Billedet med titlen Opret en Apollonian Pakning Trin 10
    8. For en udfordring, prøv at lave en ikke-symmetrisk apollonisk pakning ved at ændre størrelsen på din anden cirkel. Alle Apollonian-pakninger starter det samme - med en stor udvendig cirkel, der virker som kanten af ​​fraktal. Der er dog ingen grund til, at din anden cirkel nødvendigvis har at have 1/2 radius af den første - vi valgte bare at gøre dette ovenfor, fordi det er simpelt og nemt at forstå. For sjov, prøv at starte en ny pakning med en anden cirkel af en anden størrelse - dette vil føre til spændende nye efterforskningsmuligheder.
  • Efter at have tegnet din anden cirkel (uanset dens størrelse), skal din næste handling være at tegne en eller flere cirkler, der er tangent både til det og til den store ydre cirkel - der er ingen rigtig måde at gøre dette på, heller. Herefter kan du bruge Descartes sætning til at bestemme radii af eventuelle efterfølgende cirkler, som vist ovenfor.

    • Tips

    Del på sociale netværk :
    Lignende