Sådan skelner du eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner er en speciel kategori af funktioner, der involverer eksponenter, der er variabler eller funktioner. Ved hjælp af nogle af de grundlæggende regler for calculus kan du begynde med at finde derivatet af en grundlæggende funktioner som $-en x$ $A ^ {x}$ . Dette giver derefter en formular, som du kan bruge til enhver numerisk base, der er hævet til en variabel eksponent. Udvidelse af dette arbejde kan du også finde derivatet af funktioner, hvor eksponenten selv er en funktion. Endelig vil du se, hvordan du differentierer "Power Tower", en særlig funktion, hvor eksponenten svarer til bunden.

Trin

Del 1 af 4:

Differentierende generelle eksponentielle funktioner

1. Begynd med en generel eksponentiel funktion. Begynd med en grundlæggende eksponentiel funktion ved hjælp af en variabel som bunden. Ved beregning af derivatet af den generelle funktion på denne måde kan du bruge løsningen som model for en fuld familie af lignende funktioner.

$Y = -en x$ $y = a ^ {{x}}$

2. Tag den naturlige logaritme på begge sider. Du skal manipulere funktionen for at hjælpe med at finde et standard derivat med hensyn til variablen

x

$x$ . Dette begynder ved at tage begge sidernes naturlige logaritme som følger:

\ln Y = \ln -en x

$ln y = ln a ^ {{x}}$

3. Eliminer eksponenten. Ved hjælp af reglerne for logaritmer kan denne ligning forenkles for at eliminere eksponenten. Eksponenten i logaritmfunktionen kan fjernes som et multipelt foran logaritmen, som følger:

\ln Y = x \ln -en

$ln y = x ln a$

4. Differentiere begge sider og forenkle. Det næste skridt er at differentiere hver side med hensyn til

x

$x$ . Fordi

-en

$-en$ er en konstant, så

\ln -en

$ln A$ er også en konstant. Derivatet af

x

$x$ Forenkler til 1, og udtrykket forsvinder. Trinnene er som følger:

\ln Y = x \ln -en

$ln y = x ln a$

D D x \ln Y = D D x x \ln -en

${ frac {d} {dx}} ln y = { frac {d} {dx}} x ln a$

\frac{1}{Y} D Y D x = \ln -en D D x x

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a { frac {d} {dx}} x$

\frac{1}{Y} D Y D x = \ln -en * 1

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a * 1$

\frac{1}{Y} D Y D x = \ln -en

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a a$

5. Forenkle at løse for derivatet. Multiplicer begge sider af Y for at isolere derivatet. Brug af grundlæggende trin i algebra, multiplicere begge sider af denne ligning ved

Y

$Y$ . Dette vil isolere derivatet af

Y

$Y$ på venstre side af ligningen. Hent derefter det

Y = -en x

$y = a ^ {x}$ , så erstat denne værdi på højre side af ligningen. Trinnene ser sådan ud:

\frac{1}{Y} D Y D x = \ln -en

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a a$

D Y D x = Y \ln -en

${ frac {dy} {dx}} = y ln a a$

D Y D x = {-en}^{x} \ln -en

${ frac {dy} {dx}} = a ^ {x} ln a a$

6. Fortolke det endelige resultat. Minder om, at den oprindelige funktion var den eksponentielle funktion

Y = -en x

$y = a ^ {x}$ , Denne løsning viser, at derivatet af den generelle eksponentielle funktion er

-en x \ln -en

$a ^ {x} ln a a$ .

Dette kan udvides til enhver værdi af

-en

$-en$ , Som i de følgende eksempler:

D D x 2^{x} = 2^{x} \ln 2

${ frac {d} {dx}} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} ln 2$

D D x 3^{x} = 3^{x} \ln 3

${ frac {d} {dx}} 3 ^ {x} = 3 ^ {x} ln 3$

D D x 10^{x} = 10^{x} \ln 10

${ frac {d} {dx}} 10 ^ {x} = 10 ^ {x} ln 10$

Del 2 af 4:

Udvidelse af beviset for derivatet af e

1. Vælg det specielle eksempel. Den tidligere sektion viste, hvordan man differentierer det generelle tilfælde af en eksponentiel funktion med nogen konstant som basen. Vælg derefter det særlige tilfælde, hvor basen er den eksponentielle konstant

E

$E$ .

$E$ $E$ er den matematiske konstant, der er omtrent lig med 2.718.
For denne afledning skal du vælge den specielle funktion $Y = E x$ $y = e ^ {x}$ .

2. Brug beviset på det generelle eksponentielle funktion derivat. Husk, fra det foregående afsnit, at derivatet af en generel eksponentiel funktion

-en x

$a ^ {x}$ er

-en x \ln -en

$a ^ {x} ln a a$ . Anvend dette resultat til den specielle funktion

E x

$e ^ {x}$ som følger:

Y = E x

$y = e ^ {x}$

D Y D x = D D x E^{x}

${ frac {dy} {dx}} = { frac {d} {dx}} e ^ {x}$

D Y D x = E^{x} \ln E

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

3. Forenkle resultatet. Husk, at den naturlige logaritme er baseret på den særlige konstant

E

$E$ . Derfor er den naturlige logaritme af

E

$E$ er kun 1. Dette forenkler derivatresultatet som følger:

D Y D x = E^{x} \ln E

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

D Y D x = E^{x} * 1

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} * 1$

D Y D x = E^{x}

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x}$

4. Fortolke det endelige resultat. Dette bevis fører til det særlige tilfælde, som derivatet af funktionen

E x

$e ^ {x}$ er den meget funktion selv. Dermed:

D D x E^{x} = E^{x}

${ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}$

Del 3 af 4:

At finde derivatet af E med en funktionel eksponent

1. Definer din funktion. For dette eksempel finder du det generelle derivat af funktioner, der har

E

$E$ hævet til en eksponent, når eksponenten selv er en funktion af

x

$x$ .

Som et eksempel skal du overveje funktionen $Y = E 2 x + 3$ $y = e ^ {{2x + 3}}$ .

2. Definer variablen U { displayStyle u} $U$ . Denne løsning vil involvere ledningsregel for derivater. Husk, at kædeordenen gælder, når du har en funktion,

U (x)

$U (x)$ nestet inde i en anden,

F (x)

$f (x)$ , Som du har her. Kædeordet siger:

D Y D x = D Y D U * D U D x

${ frac {DY} {DX}} = { FRIC {DY} {DU}} * { FRAC {DU} {DX}}$

Sammenfattende vil du definere eksponenten som en separat funktion

U (x)

$U (x)$ .

For dette eksempel er eksponenten den indlejrede funktion

U (x)

$U (x)$ . Således for dette eksempel:

Y = E U

$y = e ^ {u}$ , og

U = 2 x + 3

$U = 2x + 3$

3. Anvend kædeforeningen. Kædereglen kræver, at du finder derivaterne af begge funktioner

Y

$Y$ og

U

$U$ . Det resulterende derivat er derefter produktet af de to.

De to separate derivater er:

D Y D U = D D U E^{U} = E^{U}

${ displaystyle { frac {dy} {du}} = { fac {d} {du}} e ^ {u} = e ^ {u}}$ . (Husk at derivatet af

E x

$e ^ {x}$ er

E x

$e ^ {x}$ .)

D U D x = D D x (2 x + 3) = 2

${ frac {du} {dx}} = { frac {d} {dx}} (2x + 3) = 2$

Efter at have fundet de to separate derivater, kombineres dem for at finde derivatet af den oprindelige funktion:

D Y D x = D Y D U * D U D x

${ frac {DY} {DX}} = { FRIC {DY} {DU}} * { FRAC {DU} {DX}}$

D D x E^{2 x + 3} = E^{(2 x + 3)} * 2 = 2 E^{(2 x + 3)}

${ frac {d} {dx}} e ^ {{2x + 3}} = e ^ {{(2x + 3)}} * 2 = 2e ^ {{(2x + 3)}}$

4. Øv et andet eksempel på E { displayStyle e} $E$ med en funktionel eksponent. Vælg et andet eksempel,

Y = E synd x

$y = e ^ {{ sin x}}$ .

Definer den indlejrede funktion. I dette tilfælde,

U = synd x

$U = SIN X$ .

Find derivaterne af funktionerne

Y

$Y$ og

U

$U$ .

D Y D U = E^{U}

${ frac {dy} {du}} = e ^ {u}$

D U D x = COS x

${ frac {du} {dx}} = cos x$

Kombiner brug af kædenreglen:

Y = E synd x

$y = e ^ {{ sin x}}$

D Y D x = D Y D U * D U D x

${ frac {DY} {DX}} = { FRIC {DY} {DU}} * { FRAC {DU} {DX}}$

D D x E^{synd x} = E^{U} * COS x = E^{synd x} COS x

${ frac {d} {dx}} e ^ {{ sin x}} = e ^ {u} * cos x = e ^ {{ sin x}} cos x$

Del 4 af 4:

Finde derivatet af x

1. Definer funktionen. For dette særlige eksempel, nogle gange kaldet "Power Tower", vælge funktionen sådan at:

$Y = x x$ $y = x ^ {x}$

2. Find den naturlige logaritme på hver side. Som før begynder løsningen her med den naturlige logaritme på hver side af ligningen:

\ln Y = \ln (x x)

$ln y = ln (x ^ {x})$

\ln Y = x \ln x

$ln y = x ln x$

3. Tag afledt af hver side af ligningen. På højre side af denne ligning skal du anvende produktregel for derivater. Minde om, at produktreglen hedder det, hvis