Sådan finder du domænet og rækkevidde af en funktion: 14 trin

Hver funktion indeholder to typer af variabler: Uafhængige variabler og afhængige variabler, hvis værdier bogstaveligt talt "afhænger" på de uafhængige variabler. For eksempel i funktionen Y = F(x) = 2x + Y, x er uafhængig og Y er afhængig (med andre ord, Y er en funktion af x). De gyldige værdier for en given uafhængig variabel x er kollektivt kaldt "domænet"."De gyldige værdier for en given afhængig variabel Y er kollektivt kaldet "rækken."

Trin

Del 1 af 3:

Find domænet for en funktion

1. Bestem den type funktion, du arbejder med. Funktionens domæne er alle x-værdier (vandret akse), der giver dig en gyldig Y-værdi-udgang. Funktionsligningen kan være kvadratisk, en fraktion eller indeholder rødder. For at beregne domænet for funktionen skal du først evaluere vilkårene inden for ligningen.

En kvadratisk funktion har formularen AX + BX + C: F (x) = 2x + 3x + 4
Eksempler på funktioner med fraktioner indbefatter: f (x) = (/_x), f (x) = /_{(x - 1)}, etc.
Funktioner med en rod omfatter: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x osv.

Billedet med titlen Find domænet og rækkevidde af et funktion Trin 2

2. Skriv domænet med korrekt notation. At skrive domænet for en funktion involverer brugen af begge parenteser [,] og parenteser (,). Du bruger en beslag, når nummeret er inkluderet i domænet og bruger en parentes, når domænet ikke indeholder nummeret. Brevet U angiver en union, der forbinder dele af et domæne, der kan adskilles af et hul.

For eksempel, et domæne af [-2, 10) U (10, 2] Inkluderer -2 og 2, men omfatter ikke nummer 10.

Brug altid parenteser, hvis du er ved hjælp af uendelig symbolet, ∞. Dette skyldes, at uendelig er et koncept og ikke et nummer.

Billede med titlen Find domænet og rækkevidde af et funktionstrin 3

3. Tegn en graf af den kvadratiske ligning. Kvadratiske ligninger gør en parabolisk graf, der enten kommer op eller ned. I betragtning af at parabolen vil fortsætte uendeligt udad på X-aksen, er domænet for de fleste kvadratiske funktion alle reelle tal. Angivne en anden måde, en kvadratisk ligning omfatter alle x-værdier på nummerlinjen, hvilket gør sit domæne R (symbolet for alle rigtige tal).

For at få en ide om funktionen vælg en X-værdi og sæt den i funktionen. Løsning af funktionen med denne x-værdi udsender en Y-værdi. Disse X- og Y-værdier er en koordinat (x, y) af grafen af funktionen.

Plot denne koordinat og gentag processen med en anden x-værdi.

Plotting et par værdier på denne måde bør give dig en generel ide om form af den kvadratiske funktion.

Billede med titlen Find domænet og rækkevidde af et funktionstrin 4

4. Sæt nævneren svarende til nul, hvis det er en brøkdel. Når du arbejder med en brøkdel, kan du aldrig opdele med nul. Ved at indstille nævneren svarende til nul og løsning for x, kan du beregne de værdier, der vil blive udelukket i funktionen.

For eksempel: Identificer funktionen af funktionen F (x) = /_{(x - 1)}.

Nævneren af denne funktion er (x - 1).

Sæt det svarende til nul og løve for x: x - 1 = 0, x = 1.

Skriv domænet: Domænet for denne funktion kan ikke omfatte 1, men indeholder alle reelle tal undtagen 1, derfor er domænet (-∞, 1) u (1, ∞).

(-∞, 1) u (1, ∞) kan læses som sæt af alle reelle tal, der udelukker 1.Infinity-symbolet, ∞, repræsenterer alle reelle tal. I dette tilfælde er alle reelle tal større end 1 og mindre end en inkluderet i domænet.

Billedet med titlen Find domænet og rækkevidde af et funktionstrin 5

5. Indstil vilkårene inde i radikalet for at være større end eller lig med nul, hvis der er en rodfunktion. Du kan ikke tage kvadratroten af et negativt nummer - derfor skal enhver x-værdi, der fører til et negativt tal, udelukkes fra domænet for den pågældende funktion.

For eksempel: Identificer domænet for funktionen F (x) = √ (x + 3).

Vilkårene inden for radikalet er (x + 3).

Sæt dem større end eller lig med nul: (x + 3) ≥ 0.

Løs for x: x ≥ -3.

Domænet i denne funktion omfatter alle reelle tal større end eller lig med -3- Derfor er domænet [-3, ∞).

Del 2 af 3:

Finde rækkevidden af en kvadratisk funktion

1. Bekræft, at du har en kvadratisk funktion. En kvadratisk funktion har formularen AX + BX + C: F (x) = 2x + 3x + 4. Formen af en kvadratisk funktion på en graf er parabola peger op eller ned. Der er forskellige metoder til beregning af rækkevidden af en funktion afhængigt af den type, du arbejder med.

Den nemmeste måde at identificere rækkevidden af andre funktioner på, såsom rod- og fraktionsfunktioner, er at tegne grafen for funktionen ved hjælp af en grafisk regnemaskine.

Billede med titlen Find domænet og rækkevidde af et funktion trin 7

2. Find x-værdien af funktionen af funktionen. Verden af en kvadratisk funktion er spidsen af parabolen. Husk, en kvadratisk ligning er af formularen AX + BX + C. For at finde X-koordinaten Brug ligningen X = -B / 2A. Denne ligning er et derivat af den grundlæggende kvadratiske funktion, som repræsenterer ligningen med en nulhældning (ved grafens vertex, er funktionen af funktionen nul).

Find for eksempel området 3x + 6x -2.

Beregn X-koordinat af Vertex: X = -B / 2A = -6 / (2 * 3) = -1

Billedet med titlen Find domænet og rækkevidde af et funktion Trin 8

3. Beregn Y-værdien af funktionen af funktionen. Tilslut X-koordinaten i funktionen for at beregne den tilsvarende Y-værdi af Vertex. Denne Y-værdi angiver kanten af dit sortiment for funktionen.

Beregn Y-koordinat: Y = 3x + 6x - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5.

Verden af denne funktion er (-1, -5).

Billedet med titlen Find domænet og rækkevidde af et funktionstrin 9

4. Bestem retningen af parabolen ved at tilslutte mindst en mere x-værdi. Vælg en anden x-værdi og sæt den i funktionen for at beregne den tilsvarende Y-værdi. Hvis Y-værdien er over Vertex, fortsætter parabolen til + ∞. Hvis Y-værdien er under Verden, fortsætter parabolen til -∞.

Brug X-Value -2: Y = 3x + 6x - 2 = Y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.

Dette giver koordinaten (-2, -2).

Denne koordinat fortæller dig, at parabolen fortsætter over vertexet (-1, -5) - derfor omfatter rækken alle Y-værdier over -5.

Omfanget af denne funktion er [-5, ∞)

Billedet med titlen Find domænet og rækkevidde af et funktion Trin 10

5. Skriv sortimentet med korrekt notation. Ligesom domænet er rækken skrevet med samme notation. Brug en beslag, når nummeret er inkluderet i domænet, og brug en parentes, når domænet ikke indeholder nummeret. Brevet U angiver en union, der forbinder dele af et domæne, der kan adskilles af et hul.

For eksempel en række [-2, 10) U (10, 2] Inkluderer -2 og 2, men omfatter ikke nummer 10.

Brug altid parenteser, hvis du er ved hjælp af uendelig symbolet, ∞.

Del 3 af 3:

Finde rækkevidden af en funktion grafisk

1. Graf funktionen. Ofte er det nemmest at bestemme rækkevidden af en funktion ved blot at grake den. Mange rodfunktioner har en række (-∞, 0] eller [0, + ∞), fordi hjørnet af sidelæns parabola er på vandret, X-akse. I dette tilfælde omfatter funktionen alle de positive Y-værdier, hvis parabolen går op, eller alle de negative Y-værdier, hvis parabolen går ned. Fraktionsfunktioner vil have asymptoter, der definerer området.

Nogle rodfunktioner starter ovenfor eller under x-aksen. I dette tilfælde bestemmes området af det punkt, hvor rodfunktionen starter. Hvis parabolen starter ved Y = -4 og går op, er området [-4, + ∞).
Den nemmeste måde at grave til en funktion på er at bruge et grafisk program eller en grafisk regnemaskine.
Hvis du ikke har en grafisk regnemaskine, kan du tegne en grov skitse af en graf ved at tilslutte X-værdier i funktionen og få de tilsvarende Y-værdier. Plot disse koordinater på grafen for at få en ide om form af grafen.

Billedet med titlen Find domænet og rækkevidde af et funktion Trin 12

2. Find minimum af funktionen. Når du har graftet funktionen, skal du være i stand til tydeligt at se det laveste punkt i grafen. Hvis der ikke er noget indlysende minimum, ved at nogle funktioner fortsætter til -∞.

En fraktionsfunktion vil omfatte alle punkter undtagen dem i Asymptote. De har ofte intervaller som (-∞, 6) u (6, ∞).

Billedet med titlen Find domænet og rækkevidde af et funktion Trin 13

3. Bestem maksimumet af funktionen. Igen, efter at have target, skal du være i stand til at identificere maksimumspunktet for funktionen. Nogle funktioner vil fortsætte til + ∞ og vil derfor ikke have et maksimum.

Billedet med titlen Find domænet og rækkevidde af et funktionstrin 14

4. Skriv sortimentet med korrekt notation. Ligesom domænet er rækken skrevet med samme notation. Brug en beslag, når nummeret er inkluderet i domænet, og brug en parentes, når domænet ikke indeholder nummeret. Brevet U angiver en union, der forbinder dele af et domæne, der kan adskilles af et hul.

For eksempel en række [-2, 10) U (10, 2] Inkluderer -2 og 2, men omfatter ikke nummer 10.

Brug altid parenteser, hvis du er ved hjælp af uendelig symbolet, ∞.