4 måder at finde en del af en aritmetisk sekvens

En aritmetisk sekvens er en liste over tal, der adskiller sig fra den ene til den næste, med en konstant mængde. For eksempel listen over lige tal, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,2,4,6,8$ ... er en aritmetisk sekvens, fordi forskellen fra et tal i listen til det næste er altid 2. Hvis du ved, at du arbejder med en aritmetisk sekvens, kan du blive bedt om at finde det næste udtryk fra en given liste. Du kan også blive bedt om at udfylde et hul, hvor et udtryk mangler. Endelig vil du måske gerne vide, for eksempel 100. term uden at skrive ud alle 100 vilkår. Et par enkle trin kan hjælpe dig med at gøre nogen af disse.

Trin

Metode 1 af 4:

Find den næste periode i en aritmetisk sekvens

1. Find den fælles forskel for sekvensen. Når du er præsenteret med en liste over numre, kan du blive fortalt, at listen er en aritmetisk sekvens, eller det er måske nødvendigt at regne det ud for dig selv. Det første skridt er det samme i begge tilfælde. Vælg de første to på hinanden følgende vilkår i listen. Trække det første udtryk fra anden sigt. Resultatet er den fælles forskel i din sekvens.

For eksempel antage, at du har listen $1, 4, 7, 10, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Trække fra $4 - 1$ $4-1$ at finde den fælles forskel på 3.
Antag at du har en liste over udtryk, der falder, som f.eks $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Du trækker stadig det første udtryk fra den anden for at finde forskellen. I dette tilfælde giver det dig $21 - 25 = - 4$ $21-25 = -4$ . Det negative resultat betyder, at din liste falder, når du læser fra venstre til højre. Du bør altid kontrollere, at tegn på forskellen matcher den retning, som tallene ser ud til at gå.

Billedet med titlen Find en hvilken som helst periode på en aritmetisk sekvens Trin 2

2. Kontroller, at den fælles forskel er konsekvent. At finde den fælles forskel for bare de to første vilkår sikrer ikke, at din liste er en aritmetisk sekvens. Du skal sørge for, at forskellen er konsekvent for hele listen. Kontroller forskellen ved at trække to forskellige på hinanden følgende vilkår i listen. Hvis resultatet er konsistent for et eller to andre par af termer, så har du sandsynligvis en aritmetisk sekvens.

Arbejder med samme eksempel,

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ... Vælg den anden og tredje vilkår på listen. Trække fra

7 - 4

$7-4$ , og du finder ud af, at forskellen stadig er 3. For at bekræfte, check endnu et eksempel og subtrahere

13 - 10

$13-10$ , og du finder ud af, at forskellen er konsekvent 3. Du kan være ret sikker på, at du arbejder med en aritmetisk sekvens.

Det er muligt for en liste over numre at synes at være en aritmetisk sekvens baseret på de første par vilkår, men så fejler derefter efter det. For eksempel overveje listen

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... Forskellen mellem det første og andet vilkår er 1, og forskellen mellem det andet og det tredje udtryk er også 1. Forskellen mellem tredje og fjerde vilkår er dog 3. Fordi forskellen ikke er almindelig for hele listen, så er dette ikke en aritmetisk sekvens.

Billedet med titlen Find ethvert udtryk for en aritmetisk sekvens Trin 3

3. Tilføj den fælles forskel til det sidste givet udtryk. At finde den næste løbetid for en aritmetisk sekvens efter at du ved, at den fælles forskel er let. Du skal blot tilføje den fælles forskel til listen sidste sigt, og du får det næste nummer.

For eksempel, i eksemplet på

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ..., for at finde det næste nummer på listen, tilføj den fælles forskel på 3 til det sidste givet udtryk. Tilføjelse

13 + 3

$13 + 3$ resulterer i 16, hvilket er næste sigt. Du kan fortsætte med at tilføje 3 for at gøre din liste så længe du vil. For eksempel ville listen være

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25

$1,4,7,10,13,16,19,22,25 år$ ... Du kan gøre det så længe du vil.

Metode 2 af 4:

Finde en manglende intern sigt

1. Kontroller, at du starter med en aritmetisk sekvens. I nogle tilfælde kan du have en liste over tal med et manglende udtryk i midten. Begynd som før ved at kontrollere, at din liste er en aritmetisk sekvens. Vælg eventuelle to på hinanden følgende vilkår og find forskellen mellem dem. Tjek derefter dette mod to andre på hinanden følgende vilkår i listen. Hvis forskellene er de samme, kan du antage, at du arbejder med en aritmetisk sekvens og fortsæt.

For eksempel antage, at du har listen $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, 16, 20$ $12,16,20$ ... Start med at subtrahere $4 - 0$ $4-0$ at finde en forskel på 4. Kontroller dette mod to andre på hinanden følgende vilkår, f.eks $16 - 12$ $16-12$ . Forskellen er igen 4. Du kan fortsætte.

Billedet med titlen Find en hvilken som helst periode på en aritmetisk sekvens Trin 5

2. Tilføj den fælles forskel til udtrykket før rummet. Dette svarer til at tilføje et udtryk til enden af en sekvens. Find udtrykket, der straks går forud for rummet i din sekvens. Dette er det "sidste" nummer, du ved. Tilføj din fælles forskel til dette udtryk for at finde det nummer, der skal udfylde rummet.

I vores arbejdseksempel,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., udtrykket forud for rummet er 4, og vores fælles forskel for denne liste er også 4. Så tilføjelse

4 + 4

$4 + 4$ at få 8, hvilket skal være nummeret i det tomme mellemrum.

Billedet med titlen Find ethvert udtryk for en aritmetisk sekvens Trin 6

3. Trække den fælles forskel fra udtrykket efter rummet. For at være sikker på at du har det rigtige svar, skal du kontrollere fra den anden retning. En aritmetisk sekvens skal være konsekvent i begge retninger. Hvis du flytter fra venstre til højre og tilføj 4, så går i modsat retning, fra højre til venstre, ville du gøre det modsatte og trække 4.

I arbejdet,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., udtrykket umiddelbart efter rummet er 12. Trække den fælles forskel på 4 fra dette udtryk for at finde

12 - 4 = 8

$12-4 = 8$ . Resultatet af 8 skal udfylde det tomme mellemrum.

Billedet med titlen Find ethvert udtryk for en aritmetisk sekvens Trin 7

4. Sammenlign dine resultater. De to resultater, du får, fra at tilføje op fra bunden eller fra subtrahering ned fra toppen, skal matche. Hvis de gør det, så har du fundet værdien for den manglende term. Hvis de ikke gør det, skal du kontrollere dit arbejde. Du har muligvis ikke en sand aritmetisk sekvens.

I det arbejde eksempel, de to resultater af

4 + 4

$4 + 4$ og

12 - 4

$12-4$ begge gav løsningen af 8. Derfor er det manglende udtryk i denne aritmetiske sekvens 8. Den fulde sekvens er

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0,4,8,12,16,20$ ...

Metode 3 af 4:

Finde den nteperiode for en aritmetisk sekvens

1. Identificer den første sigt af sekvensen. Ikke hver sekvens begynder med tallene 0 eller 1. Se på listen over numre, du har, og find den første periode. Dette er dit udgangspunkt, som kan betegnes ved hjælp af variabler som en (1).

Det er almindeligt at arbejde med aritmetiske sekvenser for at bruge variablen A (1) til at betegne første sigt af en sekvens. Du kan selvfølgelig vælge enhver variabel, du kan lide, og resultaterne skal være de samme.
For eksempel i betragtning af sekvensen $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ ..., det første udtryk er $3$ $3$ , som kan betegnes algebraisk som en (1).

Billedet med titlen Find ethvert udtryk for en aritmetisk sekvens Trin 9

2. Definer din fælles forskel som D. Find den fælles forskel for sekvensen som før. I dette fungerende eksempel er den fælles forskel

8 - 3

$8-3$ , hvilket er 5. Kontrol med andre vilkår i sekvensen giver det samme resultat. Vi vil bemærke denne fælles forskel med den algebraiske variabel D.

Billedet med titlen Find en hvilken som helst periode på en aritmetisk sekvens Trin 10

3. Brug den eksplicitte formel. En eksplicit formel er en algebraisk ligning, som du kan bruge til at finde en del af en aritmetisk sekvens uden at skulle skrive den fulde liste. Den eksplicitte formel for en algebraisk sekvens er

-en (N) = -en (1) + (N - 1) D

$A (n) = A (1) + (N-1) D$ .

Udtrykket A (n) kan læses som "NTH-løbetiden for A", hvor n repræsenterer hvilket antal i listen, du vil finde, og A (n) er den faktiske værdi af det pågældende nummer. For eksempel, hvis du bliver bedt om at finde 100. vare i en aritmetisk sekvens, vil n være 100. Bemærk, at n er 100, i dette eksempel, men A (n) vil være værdien af det 100. udtryk, ikke nummeret 100 selv.

Billedet med titlen Find ethvert udtryk for en aritmetisk sekvens Trin 11

4. Udfyld dine oplysninger for at løse problemet. Ved hjælp af den eksplicitte formel til din sekvens skal du udfylde de oplysninger, du ved for at finde det udtryk, du har brug for.

For eksempel i arbejdet

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ ..., ved vi, at A (1) er første sigt 3, og den fælles forskel D er 5. Antag at du bliver bedt om at finde 100. løbetid i den rækkefølge. Derefter n = 100 og (n-1) = 99. Den komplette eksplicitte formel, med de data, der er fyldt, er da

-en (100) = 3 + (99) (5)

$A (100) = 3 + (99) (5)$ . Dette forenkler til 498, hvilket er den 100. udtryk for denne sekvens.

Metode 4 af 4:

Brug af den eksplicitte formel til at finde yderligere oplysninger

1. Omarrangere den eksplicitte formel til at løse for andre variabler. Ved hjælp af den eksplicitte formel og nogle grundlæggende algebra kan du finde flere stykker information om en aritmetisk sekvens. I sin oprindelige form,

-en (N) = -en (1) + (N - 1) D

$A (n) = A (1) + (N-1) D$ , Den eksplicitte formel er designet til at løse for en_N og giv dig en sekvensens NTH-sigt. Du kan dog algebraisk manipulere denne formel og løse for nogen af variablerne.

For eksempel antage, at du har enden af en liste over tal, men du skal vide, hvad begyndelsen af sekvensen var. Du kan omarrangere formlen for at give dig $-en (1) = -en (N) - (N - 1) D$ ${ DISPLAYSTYLE A (1) = A (N) - (N-1) D}$
Hvis du kender udgangspunktet for en aritmetisk sekvens og dets slutpunkt, men du skal vide, hvor mange vilkår der er på listen, kan du omarrangere den eksplicitte formel til at løse for n. Dette ville være $N = -en (N) - -en (1) D + 1$ $n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .
Hvis du har brug for at gennemgå de grundlæggende regler for Algebra for at oprette dette resultat, check ud Lær algebra eller Forenkle algebraiske udtryk.

Billede med titlen Find en hvilken som helst periode af en aritmetisk sekvens Trin 13

2. Find første sigt af en sekvens. Du kan måske vide, at den 50. andel af en aritmetisk sekvens er 300, og du ved, at vilkårene er blevet stigende med 7 (den "fælles forskel"), men du vil finde ud af, hvad sekvensens første sigt var. Brug den reviderede eksplicit formel, der løser for A1 for at finde dit svar.

Brug ligningen

-en (1) = (N - 1) D - -en (N)

$A (1) = (N-1) D-A (N)$ , og udfyld de oplysninger, du kender. Da du ved, at det 50. term er 300, så n = 50, N-1 = 49 og A (n) = 300. Du får også, at den fælles forskel, D, er 7. Derfor bliver formlen

-en (1) = (49) (7) - 300

$A (1) = (49) (7) -300$ . Dette virker ud til

343 - 300 = 43

$343-300 = 43$ . Den sekvens, du har startet på 43, og tællede op med 7. Derfor ser det ud som 43,50.57,64,71,78 ... 293,300.

Billedet med titlen Find ethvert udtryk for en aritmetisk sekvens Trin 14

3. Find længden af en sekvens. Antag at du ved alt om starten og slutningen af en aritmetisk sekvens, men du skal finde ud af, hvor længe det er. Brug den reviderede formel

N = -en (N) - -en (1) D + 1

$n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .

Antag at du ved, at en given aritmetisk sekvens begynder på 100 og stiger med 13. Du bliver også fortalt, at det sidste udtryk er 2.856. For at finde længden af sekvensen, brug betingelserne A1 = 100, D = 13 og A (N) = 2856. Indsæt disse vilkår i formlen for at give

N = 2856 - 100 13 + 1

$n = { frac {2856-100} {13}} + 1$ . Hvis du arbejder det ud, får du det

N = \frac{2756}{13} + 1

$n = { frac {2756} {13}} + 1$ , som svarer til 212 + 1, hvilket er 213. Der er 213 udtryk i denne sekvens.

Denne prøvesekvens ville ligne 100, 113, 126, 139 ... 2843, 2856.

Advarsler

Der er forskellige slags sekvenser af tal. Antag ikke, at en liste over tal er en aritmetisk sekvens. Kontroller altid mindst to par vilkår, eller helst tre eller fire, for at finde den fælles forskel mellem vilkårene.