3 måder at faktoralgebraiske ligninger

I matematik, factoring er handlingen med at finde de tal eller udtryk, der multiplicerer sammen for at lave et givet antal eller ligning. Factoring er en nyttig færdighed til at lære med det formål at løse de grundlæggende algebraproblemer - evnen til at kompetent faktor bliver næsten afgørende, når man beskæftiger sig med kvadratiske ligninger og andre former for polynomier. Factoring kan bruges til at forenkle algebraiske udtryk for at gøre løse enklere. Factoring kan endda give dig mulighed for at eliminere visse mulige svar meget hurtigere, end du ville kunne løse manuelt.

Trin

Metode 1 af 3:

Factoring numre og grundlæggende algebraiske udtryk

1. Forstå definitionen af factoring, når de anvendes til enkelttal. Factoring er konceptuelt simpelt, men i praksis kan man vise sig at være udfordrende, når de anvendes på komplekse ligninger. På grund af dette er det nemmest at nærme sig begrebet factoring ved at starte med enkle tal, og derefter gå videre til enkle ligninger, inden det endelig går videre til mere avancerede applikationer. Et givet antal faktorer er de tal, der multipliceres til at give det nummer. For eksempel er faktorerne 12 1, 12, 2, 6, 3 og 4, fordi 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4 alle ligner 12.

En anden måde at tænke på dette er, at et givet antal faktorer er de tal, hvormed det er jævnt delelig.
Kan du finde alle faktorer i nummeret 60? Vi bruger nummer 60 til en bred vifte af formål (minutter om en time, sekunder om et minut osv.) Fordi det er jævnt deleligt af en temmelig bred vifte af tal.

Faktorerne på 60 er 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60.

Billedbetegnelse Faktoralgebraiske ligninger Trin 2

2. Forstå, at variable udtryk også kan faktureres. Ligesom ensomme tal kan faktureres, så kan også variabler med numeriske koefficienter faktureres. For at gøre dette skal du blot finde faktorerne i variabelens koefficient. At vide, hvordan de faktorvariabler er nyttige til at forenkle algebraiske ligninger, at variablerne er en del af.

For eksempel kan den variable 12x skrives som et produkt af faktorerne på 12 og x. Vi kan skrive 12x som 3 (4x), 2 (6x) osv., Brug af hvilke faktorer på 12 er bedst til vores formål.

Vi kan endda gå så langt som om faktor 12x flere gange. Med andre ord behøver vi ikke stoppe med 3 (4x) eller 2 (6x) - vi kan faktor 4x og 6x til at give 3 (2 (2x) og 2 (3 (2x) henholdsvis. Det er klart, at disse to udtryk er ens.

Billedbetegnelse Faktoralgebraiske ligninger Trin 3

3. Påfør distributionen af multiplikation til faktoralgebraiske ligninger. Ved hjælp af din viden om, hvordan man faktor både lone tal og variabler med koefficienter, kan du forenkle enkle algebraiske ligninger ved at finde faktorer, som tallene og variablerne i en algebraisk ligning har til fælles. Normalt for at gøre ligningen så enkel som muligt, forsøger vi at søge efter største fælles faktor. Denne forenklingsproces er mulig på grund af den distributive egenskab af multiplikation, hvilket hedder det for ethvert tal A, B og C, A (B + C) = AB + AC.

Lad os prøve et eksempel problem. For at faktor den algebraiske ligning 12 x + 6, lad os først prøve at finde den største commonfactor på 12X og 6. 6 er det største antal, der deler jævnt ind i både 12X og 6, så vi kan forenkle ligningen til 6 (2x + 1).

Denne proces gælder også for ligninger med negativer og fraktioner. X / 2 + 4 kan for eksempel forenkles til 1/2 (x + 8), og -7x + -21 kan indarbejdes til -7 (x + 3).

Metode 2 af 3:

Factoring kvadratiske ligninger

1. Sørg for, at ligningen er i kvadratisk form (AX + BX + C = 0). Kvadratiske ligninger er af formularen + BX + C = 0, hvor A, B og C er numeriske konstanter, og A ikke svarer til 0 (bemærk at a kan lige 1 eller -1). Hvis du har en ligning indeholdende en variabel (x), der har en eller flere vilkår for x til den anden kraft, kan du normalt skifte vilkårene i ligningen omkring ved hjælp af basale algebraiske operationer for at få 0 på den ene side af svarer til tegn og økse, etc. på den anden side.

Lad os for eksempel overveje den algebraiske ligning. 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 kan forenkles til X + 6x + 9 = 0, som er i den kvadratiske form.
Ligninger med større kræfter af x, som x, x osv. kan ikke være kvadratiske ligninger. De er kubiske ligninger, quartiske ligninger og så videre, medmindre ligningen kan forenkles for at eliminere disse vilkår for x over kraften på 2.

Billedbetegnelse Faktoralgebraiske ligninger Trin 5

2. I kvadratiske ligninger hvor A = 1, faktor til (x + d) (x + e), hvor D × E = C og D + E = B. Hvis din kvadratiske ligning er i formularen X + BX + C = 0 (med andre ord, hvis Xefficienten af X Term = 1), er det muligt (men ikke garanteret), at en relativt enkel genvej kan bruges til at faktorere ligning. Find to numre, der begge multipliceres til at lave c og Tilføj for at lave b. Når du har fundet disse to numre D og E, skal du placere dem i følgende udtryk: (x + d) (x + e). Disse to vilkår, når de multipliceres sammen, producerer din kvadratiske ligning - med andre ord er de din kvadratiske ligningsfaktorer.

For eksempel, lad os overveje den kvadratiske ligning x + 5x + 6 = 0. 3 og 2 multiplicer sammen for at gøre 6 og også tilføje op for at gøre 5, så vi kan forenkle denne ligning til (x + 3) (x + 2).

Små variationer på denne grundlæggende genvej eksisterer for små variationer i ligningen selv:

Hvis den kvadratiske ligning er i formularen X-BX + C, er dit svar i denne formular: (x - _) (x - _).

Hvis det er i formularen X + BX + C, ser dit svar sådan ud: (x + _) (x + _).

Hvis det er i formular X-BX-C, svarer du svaret i formularen (x + _) (x - _).

Bemærk: Tallene i emnerne kan være fraktioner eller decimaler. For eksempel er ligningen X + (21/2) X + 5 = 0 faktorer til (X + 10) (X + 1/2).

Billedbetegnelse Faktoralgebraiske ligninger Trin 6

3. Hvis det er muligt, faktor ved inspektion. Tro det eller ej, for ukomplicerede kvadratiske ligninger, er et af de accepterede midler til factoring simpelthen at undersøge problemet, så overvej bare mulige svar, indtil du finder den rigtige. Dette er også kendt som factoring ved inspektion. Hvis ligningen er i formularen AX + BX + C og A>1, vil dit faktureret svar være i formularen (DX +/- _) (ex +/- _), hvor D og E er nonzero numeriske konstanter, der multipliceres til at lave en. Enten D eller E (eller begge) kan Vær nummer 1, selv om dette ikke nødvendigvis er så. Hvis begge er 1, har du i det væsentlige brugt genvejen beskrevet ovenfor.

Lad os overveje et eksempel problem. 3x - 8x + 4 i første omgang virker skræmmende. Men når vi indser, at 3 kun har to faktorer (3 og 1), bliver det lettere, fordi vi ved, at vores svar skal være i formularen (3x +/- _) (x +/- _). I dette tilfælde giver tilføjelsen A -2 til begge tomme mellemrum det rigtige svar. -2 × 3x = -6x og -2 × x = -2x. -6x og -2x Tilføj til -8x. -2 × -2 = 4, så vi kan se, at de fakturerede udtryk i parenteser multipliceres til at blive den oprindelige ligning.

Billedbetegnelse Faktoralgebraiske ligninger Trin 7

4. Løs ved at udfylde pladsen. I nogle tilfælde kan kvadratiske ligninger hurtigt og nemt rentes ved at bruge en særlig algebraisk identitet. Enhver kvadratisk ligning af form X + 2xH + H = (x + H). Så hvis din B-værdi i din ligning er to gange den kvadratrot af din C-værdi, kan din ligning indaaktes (X + (SQRT (C))).

For eksempel passer ligningen X + 6x + 9 denne formular. 3 er 9 og 3 × 2 er 6. Så vi ved, at den faktiske form af denne ligning er (x + 3) (x + 3), eller (x + 3).

Billedbetinget faktoralgebraiske ligninger Trin 8

5. Brug faktorer til at løse kvadratiske ligninger. Uanset hvordan du faktor dit kvadratiske udtryk, når det er indregnet, kan du finde mulige svar på værdien af X ved at indstille hver faktor svarende til nul og løsning. Da du leder efter værdier af X, der forårsager din ligning til at ligge nul, er en værdi af X, der gør en af dine faktorer, der er lig med nul, et muligt svar på din kvadratiske ligning.

Lad os vende tilbage til ligningen X + 5x + 6 = 0. Denne ligning faktureret til (x + 3) (x + 2) = 0. Hvis en af faktorerne svarer til 0, svarer hele ligningen 0, så vores mulige svar til X er de tal, der laver (x + 3) og (x + 2) svarende til 0. Disse tal er -3 og -2 henholdsvis.

Billedbetegnelse Faktoralgebraiske ligninger Trin 9

6. Tjek dine svar - nogle af dem kan være fremmede! Når du har fundet dine mulige svar til X, skal du sætte dem tilbage til din oprindelige ligning for at se, om de er gyldige. Nogle gange finder svarene du finder ikke få den oprindelige ligning til at ligne nul, når den er tilsluttet igen. Vi kalder disse svar Fremragende og se bort fra dem.

Lad os plug -2 og -3 INTX + 5X + 6 = 0. Først, -2:

(-2) + 5 (-2) + 6 = 0

4 + -10 + 6 = 0

0 = 0. Dette er korrekt, så -2 er et gyldigt svar.

Lad os nu prøve -3:

(-3) + 5 (-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0

0 = 0. Dette er også korrekt, så -3 er også et gyldigt svar.

Metode 3 af 3:

Factoring andre former for ligninger

1. Hvis ligningen er i formularen A-B, faktor den til (A + B) (A-B). Ligninger med to variabler faktor forskelligt end grundlæggende quadratics. For en ligning A-B hvor A og B ikke svarer til 0, ligningsfaktorerne til (A + B) (A-B).

For eksempel er ligningen 9x - 4Y = (3x + 2Y) (3X - 2Y).

Billedbetegnelse Faktoralgebraiske ligninger Trin 11

2. Hvis ligningen er i formularen A + 2AB + B, faktor den til (A + B). Bemærk, at hvis trinomialet er i formularen a-2AB + B, den fakturerede form er lidt anderledes: (A-B).

Ligningen 4x + 8xy + 4Y kan genskrives som 4x + (2 × 2 × 2) XY + 4Y. Vi kan nu se, at det er i den rigtige form, så vi kan sige med tillid til, at vores ligningsfaktorer til (2x + 2Y)

Billedbetinget faktoralgebraiske ligninger Trin 12

3. Hvis ligningen er i form A-B, faktor den til (A-B) (A + AB + B). Endelig bærer det at nævne, at cubics og endnu højere ordens ligninger kan udarbejdes, selvom factoringprocessen hurtigt bliver uforholdsmæssigt kompliceret.

For eksempel 8x - 27Y faktorer til (2x - 3Y) (4x + ((2x) (3Y)) + 9Y)