Sådan finder du det inverse af en 3x3 matrix

Omvendte operationer anvendes almindeligvis i algebra for at forenkle, hvad der ellers kan være svært. For eksempel, hvis et problem kræver, at du skal opdele ved en brøkdel, kan du lettere multipliceres af dens gensidige. Dette er en invers operation. På samme måde, da der ikke er nogen divisionsoperatør til matricer, skal du formere dig af den inverse matrix. Beregning af den inverse af en 3x3 matrix med hånden er et kedeligt job, men værd at gennemgå. Du kan også finde den inverse ved hjælp af en avanceret grafisk regnemaskine.

Trin

Metode 1 af 3:
Oprettelse af adjugatormatrixen for at finde den inverse matrix
  1. Billede med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 1
1. Kontroller det afgørende for matrixen. Du skal beregne den afgørende for matrixen som et første skridt. Hvis determinant er 0, så er dit arbejde færdigt, fordi matrixen ikke har invers. Determinant af matrix M kan repræsenteres symbolisk som det (m).
  • Billede med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 2
    2. Transponere den oprindelige matrix. Transponering betyder at afspejle matrixen om hoveddiagonalen eller ækvivalent, swapping (i, j) og elementet og (j, i) th. Når du omsætter betingelserne i matricen, skal du se, at hoveddiagonalen (fra øverst til venstre til nederst til højre) er uændret.
  • En anden måde at tænke på at transponere er, at du omskriver den første række som den første kolonne, den midterste række bliver den midterste kolonne, og den tredje række bliver den tredje kolonne. Bemærk de farvede elementer i diagrammet ovenfor og se, hvor tallene har ændret position.
  • Billede med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 3
    3. Find determinant for hver af de 2x2 mindre matricer. Hvert element af den nyligt transponerede 3x3 matrix er forbundet med en tilsvarende 2x2 "mindre" matrix. For at finde den rigtige mindre matrix for hvert udtryk, fremhæv først rækken og kolonnen i det udtryk, du begynder med. Dette bør omfatte fem vilkår i matrixen. De resterende fire udtryk udgør den mindre matrix.
  • I eksemplet vist ovenfor, hvis du vil have den mindre matrix af udtrykket i den anden række, første kolonne, fremhæver du de fem udtryk, der er i anden række og den første kolonne. De resterende fire udtryk er den tilsvarende mindre matrix.
  • Find determinant for hver mindre matrix ved at krydse diagonalerne og subtraherer, som vist.
  • For mere om mindre matricer og deres anvendelser, se Forstå grunden til matricer.
  • Billedet med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 4
    4. Opret matrixen af ​​cofaktorer. Placer resultaterne af det foregående trin i en ny matrix af cofaktorer ved at justere hver mindre matrix determinant med den tilsvarende position i den oprindelige matrix. Således går det determinant, du beregnede fra punkt (1,1) af den oprindelige matrix, i position (1,1). Du skal derefter vende tegn på skiftende vilkår for denne nye matrix, efter "checkerboard" mønster vist.
  • Når du tildeler tegn, holder det første element i første række sit originale tegn. Det andet element er reverseret. Det tredje element holder sit originale tegn. Fortsæt med resten af ​​matrixen på denne måde. Bemærk, at (+) eller (-) tegn i checkerboard diagrammet ikke tyder på, at det endelige udtryk skal være positivt eller negativt. De er indikatorer for at holde (+) eller vende (-) Uanset hvilket tegn, som nummeret oprindeligt havde.
  • Til en gennemgang af cofaktorer, se Forstå grunden til matricer.
  • Det endelige resultat af dette trin kaldes den adjugatormatrix af originalen. Dette kaldes undertiden som den adoint matrix. Akjuatorer matrixen er noteret som adj (m).
  • Billedet med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 5
    5. Opdel hver periode af adjugatormatrixen af ​​determinant. Husk det afgørende for m, der beregnes i det første skridt (for at kontrollere, at den omvendte var mulig). Du deler nu hver form for matrixen med den værdi. Placer resultatet af hver beregning i punktet på det oprindelige udtryk. Resultatet er den inverse af den oprindelige matrix.
  • For prøvematrixen vist i diagrammet er determinanten 1. Derfor resulterer opdeling af adjugerende matrix i selve adjugatmatrixen. (Du vil ikke altid være så heldig.)
  • I stedet for at dividere repræsenterer nogle kilder dette trin som at multiplicere hvert udtryk på m ved 1 / det (m). Matematisk er disse ækvivalente.
    • Metode 2 af 3:
    Ved hjælp af lineær række reduktion for at finde den inverse matrix
    1. Billede med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 6
    1. Vedligeholdelse af identitetsmatrixen til den oprindelige matrix. Skriv ud den oprindelige matrix m, træk en lodret linje til højre for den, og skriv derefter identitetsmatrixen til højre for det. Du skal nu have, hvad der synes at være en matrix med tre rækker af seks kolonner hver.
    • Husk at identitetsmatrixen er en speciel matrix med 1s i hver position af hoveddiagonalen fra øverst til venstre til nederst til højre og 0s i alle andre positioner. For en gennemgang af identitetsmatrixen og dens egenskaber, se Forstå grunden til matricer.
  • Billede med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 7
    2. Udfør lineær række reduktionsoperationer. Dit mål er at skabe identitetsmatrixen på venstre side af denne nyindrettede matrix. Når du udfører rækken reduktion trin til venstre, skal du konsekvent udføre de samme operationer til højre, som begyndte som din identitetsmatrix.
  • Husk, at rækken reduktioner udføres som en kombination af skalær multiplikation og række tilsætning eller subtraktion for at isolere individuelle vilkår i matrixen. For en mere fuldstændig anmeldelse, se Række reducere matricer.
  • Billedet med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 8
    3. Fortsæt, indtil du danner identitetsmatrixen. Hold gentagne lineære rustreduktionsoperationer, indtil venstre side af din forstørrede matrix viser identitetsmatrixen (diagonal på 1s, med andre udtryk 0). Når du har nået dette punkt, vil højre side af din lodrette divider være den inverse af din originale matrix.
  • Billede med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 9
    4. Skriv ud den inverse matrix. Kopier de elementer, der nu vises på højre side af den lodrette divider som den inverse matrix.
    • Metode 3 af 3:
    Brug en lommeregner for at finde den inverse matrix
    1. Billede med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 10
    1. Vælg en lommeregner med matrixfunktioner. Enkle 4-funktionsregnemaskiner vil ikke være i stand til at hjælpe dig direkte med at finde den inverse. På grund af beregningens gentagne karakter kan imidlertid en avanceret grafiskeregner, såsom Texas-instrumenterne TI-83 eller TI-86, i høj grad reducere arbejdet.
  • Billede med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 11
    2. Indtast din matrix i regnemaskinen. Indtast først din regnemaskine matrixfunktion ved at trykke på Matrix-tasten, hvis du har en. På Texas Instruments Calculators kan du muligvis trykke 2 matrix.
  • Billede med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 12
    3. Vælg undermenuen Rediger. For at nå undermenuen skal du muligvis bruge piletasterne eller vælge den relevante funktionstast øverst på din regnemaskinens tastatur, afhængigt af layoutet på din regnemaskine.
  • Billedet med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 13
    4. Vælg et navn til din matrix. De fleste regnemaskiner er udstyret til at arbejde med hvor som helst fra 3 til 10 matricer, mærket med bogstaver A gennem J. Typisk, bare vælge [A] for at arbejde med. Tryk på Enter-tasten efter at have foretaget dit valg.
  • Billedet med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 14
    5. Indtast dimensionerne af din matrix. Denne artikel fokuserer på 3x3 matricer. Regnemaskinen kan dog håndtere større størrelser. Indtast antallet af rækker, og tryk derefter på ENTER, og derefter antallet af kolonner og ENTER.
  • Billedet med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 15
    6. Indtast hvert element i matrixen. Kalkulatorskærmen viser en matrix. Hvis du tidligere arbejdede med matrixfunktionen, vises den tidligere matrix på skærmen. Markøren vil fremhæve det første element i matrixen. Indtast værdien af ​​den matrix, du ønsker at løse, og derefter indtaste. Markøren flytter automatisk til det næste element i matrixen, overskriver eventuelle tidligere numre.
  • Hvis du ønsker at indtaste et negativt nummer, skal du bruge din regnemaskinens negative knap (-) og ikke minusnøglen. Matrixfunktionen læser ikke nummeret korrekt.
  • Hvis det er nødvendigt, kan du bruge din regnemaskinens piletasterne til at hoppe rundt om matricen.
  • Billedet med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 16
    7. Afslut matrixfunktionen. Når du har indtastet alle værdier af matrixen, skal du trykke på QUIT-tasten (eller 2 afslutning, om nødvendigt). Dette vil afslutte dig fra matrixfunktionen og returnere dig til hoveddisplayet på din regnemaskine.
  • Billede med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 17
    8. Brug den inverse nøgle til at finde den inverse matrix. Først skal du genåbne matrixfunktionen og bruge navne-knappen til at vælge matrixetiketten, som du brugte til at definere din matrix (sandsynligvis [A]). Tryk derefter på din regnemaskine omvendt nøgle, x-1{ displayStyle x ^ {- 1}}x ^ {{- 1}}. Dette kan kræve brug af 2-knappen, afhængigt af din regnemaskine. Dit skærmbillede skal vise EN-1{ displayStyle a ^ {- 1}}A ^ {{- 1}}. Tryk på ENTER, og den inverse matrix skal vises på skærmen.
  • Brug ikke knappen ^ på din regnemaskine for at prøve at indtaste en ^ -1 som separate tastetryk. Regnemaskinen forstår ikke denne operation.
  • Hvis du modtager en fejlmeddelelse, når du indtaster den omvendte nøgle, er chancerne for, at din originale matrix ikke har en omvendt. Du vil måske gerne gå tilbage og beregne determinanten for at finde ud af.
  • Billedet med titlen Find det inverse af en 3x3 matrix trin 18
    9. Konverter din invers matrix til præcise svar. Den første beregning, som regnemaskinen vil give dig, er i decimal form. Dette betragtes ikke som "eksakt" for de fleste formål. Du bør konvertere decimaltegnene på fraktioneret form, efter behov. (Hvis du er meget heldig, vil alle dine resultater være heltal, men det er sjældent.)
  • Din regnemaskine har sandsynligvis en funktion, der automatisk konverterer decimals til fraktioner. For eksempel ved hjælp af TI-86, skal du indtaste matematikfunktionen, og derefter vælge Misc, og derefter Frac og ENTER. Decimalerne vises automatisk som fraktioner.
  • Billedet med titlen Beregn totalomkostninger Trin 1
    10. De fleste grafiske regnemaskiner har også firkantede beslagstaster (på TI-84 det er 2. + x og 2nd + -), som kan bruges til at indtaste en matrix uden at bruge matrixfunktionen. Bemærk: Regnemaskinatoren vil ikke formatere matrixen, før efter indtastning / EQUAL-nøglen er blevet brugt (I.E. Alt vil være en linje og ikke smuk).

    • Video

    Ved at bruge denne service kan nogle oplysninger deles med YouTube.

    Tips

    Du kan følge disse trin for at finde den inverse af en matrix, der ikke kun indeholder tal, men også variabler, ukendte eller endda algebraiske udtryk.
  • Kontroller, at dit resultat er nøjagtigt, hvilken metode du vælger, ved multiplicere M af M. Du skal være i stand til at bekræfte, at M * M = M * M = I. Jeg er identitetsmatrixen, der består af 1s langs hoveddiagonalen og 0s andre steder. Hvis ikke, har du lavet en fejl et eller andet sted.
  • Skriv ned alle dine trin, da det er ekstremt svært at finde den inverse af en 3x3 matrix i dit hoved.
  • Computerprogrammer eksisterer, der udarbejder omverdene af matricer for dig, op til og med størrelsen på 30x30 matricer.

    • Advarsler

    Ikke alle 3x3 matricer har inverses. Hvis determinant af matrixen er lig med 0, har den ikke en omvendt. (Bemærk, at vi i formlen dividerer vi med det (m). Division med nul er ikke defineret.)
    Del på sociale netværk :
    Lignende