Sådan finder du vinklen mellem to vektorer: 12 trin

I matematik er en vektor ethvert objekt, der har en defineret længde, kendt som størrelse og retning. Da vektorer ikke er de samme som standardlinjer eller former, skal du bruge nogle specielle formler til at finde vinkler mellem dem.

Trin

Del 1 af 2:

Find vinklen mellem to vektorer

1. Skriv ned kosinisformlen. For at finde vinklen θ mellem to vektorer, start med formlen for at finde den vinkels cosinus. Du kan lære om denne formel nedenfor, eller bare skrive den ned:

cosθ = ( $\vec{U}$ ${ NESTHOUNDY {U}}$ • $\vec{V}$ ${ NESTHOUNDAROW {V}}$ ) / ((|| $\vec{U}$ ${ NESTHOUNDY {U}}$ || || $\vec{V}$ ${ NESTHOUNDAROW {V}}$ ||)

\vec{U}

${ NESTHOUNDY {U}}$ || midler "længden af vektoren

\vec{U}

${ NESTHOUNDY {U}}$ ."

\vec{U}

${ NESTHOUNDY {U}}$ •

\vec{V}

${ NESTHOUNDAROW {V}}$ er dotproduktet (skalarproduktet) af de to vektorer, forklaret nedenfor.

Billedet med titlen Find vinklen mellem to vektorer Trin 1

2. Identificer vektorerne. Skriv ned alle de oplysninger, du har vedrørende de to vektorer. Vi antager, at du kun har vektorens definition med hensyn til dens dimensionelle koordinater (også kaldet komponenter). Hvis du allerede kender en vektorens længde (dens størrelse), vil du kunne springe over nogle af nedenstående trin.

Eksempel: Den todimensionelle vektor

\vec{U}

${ NESTHOUNDY {U}}$ = (2,2). Vektor

\vec{V}

${ NESTHOUNDAROW {V}}$ = (0,3). Disse kan også skrives som

\vec{U}

${ NESTHOUNDY {U}}$ = 2jeg + 2J og

\vec{V}

${ NESTHOUNDAROW {V}}$ = 0jeg + 3J = 3J.

Mens vores eksempel bruger todimensionale vektorer, dækker instruktionerne nedenfor vektorer med et hvilket som helst antal komponenter.

Billedet med titlen Find vinklen mellem to vektorer Trin 3

3. Beregn længden af hver vektor. Billede en højre trekant trukket fra Vector`s X-Component, dens Y-komponent, og selve vektoren. Vektoren danner hypotenuse af trekanten, så for at finde dens længde bruger vi den pythagoreanske sætning. Som det viser sig, er denne formel let udvidet til vektorer med et hvilket som helst antal komponenter.

||U|| = U₁ + U₂. Hvis en vektor har mere end to komponenter, skal du blot fortsætte med at tilføje + U₃ + U₄ + ...

Derfor for en todimensionel vektor, ||U|| = √ (u₁ + U₂).

I vores eksempel, ||

\vec{U}

${ NESTHOUNDY {U}}$ || = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||

\vec{V}

${ NESTHOUNDAROW {V}}$ || = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.

Billedet med titlen Find vinklen mellem to vektorer Trin 4

4. Beregn dotproduktet af de to vektorer. Du har sikkert allerede lært denne metode til at multiplicere vektorer, også kaldet Scalar Product.

For at beregne DOT-produktet med hensyn til vektorernes komponenter, multiplicere komponenterne i hver retning sammen, og derefter tilføje alle resultaterne.

For computer grafikprogrammer, se tips, før du fortsætter.

Find DOT Produkt Eksempel
I matematiske vilkår, $\vec{U}$ ${ NESTHOUNDY {U}}$ • $\vec{V}$ ${ NESTHOUNDAROW {V}}$ = U₁V₁ + U₂V₂, hvor u = (u₁, U₂). Hvis din vektor har mere end to komponenter, skal du blot fortsætte med at tilføje + u₃V₃ + U₄V₄...
I vores eksempel, $\vec{U}$ ${ NESTHOUNDY {U}}$ • $\vec{V}$ ${ NESTHOUNDAROW {V}}$ = U₁V₁ + U₂V₂ = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Dette er dot produktet af vektor $\vec{U}$ ${ NESTHOUNDY {U}}$ og $\vec{V}$ ${ NESTHOUNDAROW {V}}$ .

Billedet med titlen Find vinklen mellem to vektorer Trin 5

5. Tilslut dine resultater i formlen. Husk,

cosθ = (

\vec{U}

${ NESTHOUNDY {U}}$ •

\vec{V}

${ NESTHOUNDAROW {V}}$ ) / ((||

\vec{U}

${ NESTHOUNDY {U}}$ || ||

\vec{V}

${ NESTHOUNDAROW {V}}$ ||).

Nu kender du både DOT-produktet og længden af hver vektor. Indtast disse i denne formel for at beregne kosinden af vinklen.

Find cosinus med dot produkt og vektor længder
I vores eksempel, cosθ = 6 / (2√2

3) = 1 / √2 = √2 / 2.

Billedet med titlen Find vinklen mellem to vektorer Trin 6

6. Find vinklen baseret på cosinet. Du kan bruge ARCCOS eller COS-funktionen på din regnemaskine til

Find vinklen θ fra en kendt cos θ værdi.

For nogle resultater kan du muligvis udarbejde vinklen baseret på Enhed Circle.

Finde en vinkel med cosinus
I vores eksempel, cosθ = √2 / 2. Gå ind "arccos (√2 / 2)" I din regnemaskine for at få vinklen. Alternativt kan du finde vinklen θ på enhedens cirkel, hvor COSθ = √2 / 2. Dette gælder for θ = /₄ eller 45º.
Sæt det hele sammen, den endelige formel er:
vinkel θ = arccosin (( $\vec{U}$ ${ NESTHOUNDY {U}}$ • $\vec{V}$ ${ NESTHOUNDAROW {V}}$ ) / ((|| $\vec{U}$ ${ NESTHOUNDY {U}}$ || || $\vec{V}$ ${ NESTHOUNDAROW {V}}$ ||))

Del 2 af 2:

Definerer vinkelformlen

1. Forstå formålet med denne formel. Denne formel blev ikke afledt af eksisterende regler. I stedet blev det skabt som en definition af to vektorers dotprodukt og vinklen mellem dem. Denne afgørelse var imidlertid ikke vilkårlig. Med et kig tilbage til grundlæggende geometri kan vi se, hvorfor denne formel resulterer i intuitive og nyttige definitioner.

Eksemplerne nedenfor bruger todimensionelle vektorer, fordi disse er de mest intuitive at bruge. Vektorer med tre eller flere komponenter har egenskaber defineret med den meget lignende, generelle tilfælde formel.

Billedet med titlen Find vinklen mellem to vektorer Trin 8

2. Gennemgå loven om cosins. Tag en almindelig trekant, med vinkel θ mellem sider A og B og modsat side C. Cosines lov siger, at C = A + B -2ABCOS(θ). Dette er afledt ret let fra basisk geometri.

Billedet med titlen Find vinklen mellem to vektorer Trin 9

3. Tilslut to vektorer til dannelse af en trekant. Skits et par 2D-vektorer på papir, vektorer

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ og

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ , med vinkel θ mellem dem. Tegn en tredje vektor mellem dem for at lave en trekant. Med andre ord tegne vektor

\vec{C}

${ NESTHOUNDAROW {C}}$ sådan

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ +

\vec{C}

${ NESTHOUNDAROW {C}}$ =

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ . Denne vektor

\vec{C}

${ NESTHOUNDAROW {C}}$ =

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ -

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ .

Billedet med titlen Find vinklen mellem to vektorer Trin 10

4. Skriv loven om cosins for denne trekant. Indsæt længden af vores "Vector Triangle" sider i cosins lov:

||(A - B)|| = ||-en|| + ||B|| - 2||-en|| ||B||COS(θ)

Billedet med titlen Find vinklen mellem to vektorer Trin 11

5. Skriv dette ved hjælp af DOT-produkter. Husk, et punkt produkt er forstørrelsen af en vektor projiceret på en anden. En vektorens punktprodukt med sig selv kræver ikke noget fremskrivning, da der ikke er nogen forskel i retning. Det betyder at

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ •

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ = ||-en||. Brug denne kendsgerning til at omskrive ligningen:

(

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ -

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ ) • (

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ -

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ ) =

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ •

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ +

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ •

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ - 2||-en|| ||B||COS(θ)

Billedet med titlen Find vinklen mellem to vektorer Trin 12

6. Skriv det ind i den velkendte formel. Udvid venstre side af formlen, og forenkle derefter for at nå formlen, der bruges til at finde vinkler.

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ •

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ -

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ •

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ -

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ •

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ +

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ •

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ =

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ •

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ +

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ •

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ - 2||-en|| ||B||COS(θ)

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ •

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ -

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ •

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ = -2||-en|| ||B||COS(θ)

-2 (

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ •

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ ) = -2||-en|| ||B||COS(θ)

\vec{-en}

${ NESTHOUNDAROW {A}}$ •

\vec{B}

${ NESTHOUNDAROW {B}}$ = ||-en|| ||B||COS(θ)

Video.

Ved at bruge denne service kan nogle oplysninger deles med YouTube.

Tips

For en hurtig stikkontakt og løve, brug denne formel til ethvert par todimensionale vektorer: cosθ = (u₁ • V₁ + U₂ • V₂) / (√ (u₁ • U₂) • √ (v₁ • V₂)).

Hvis du arbejder på et computer grafikprogram, bekymrer du dig sandsynligvis kun om vektorens retning, ikke deres længde. Tag disse trin for at forenkle ligningerne og fremskynde dit program:

Normaliser hver vektor så længden bliver 1. For at gøre dette skal du dele hver komponent af vektoren ved vektorens længde.

Tag DOT-produktet af de normaliserede vektorer i stedet for de oprindelige vektorer.

Siden længden svarende til 1, forlad længden af din ligning. Din endelige ligning for vinklen er arccos (

\vec{U}

${ NESTHOUNDY {U}}$ •

\vec{V}

${ NESTHOUNDAROW {V}}$ ).

Baseret på COSINE formel kan vi hurtigt finde om vinklen er akut eller stump. Start med COSθ = (

\vec{U}

${ NESTHOUNDY {U}}$ •

\vec{V}

${ NESTHOUNDAROW {V}}$ ) / ((||

\vec{U}

${ NESTHOUNDY {U}}$ || ||

\vec{V}

${ NESTHOUNDAROW {V}}$ ||):

Den venstre side og højre side af ligningen skal have det samme tegn (positivt eller negativt).

Da længderne altid er positive, skal COSθ have det samme tegn som prikproduktet.

Derfor, hvis DOT-produktet er positivt, er COSθ positivt. Vi er i den første kvadrant af enhedens cirkel, med θ < π / 2 eller 90º. Vinklen er akut.

Hvis DOT-produktet er negativt, er COSθ negativt. Vi er i anden kvadrant af enhedens cirkel, med π / 2 < θ ≤ π eller 90º < θ ≤ 180º. Vinklen er obtuse.

Del på sociale netværk :